À retenir : ces formules sont des approximations utiles, pas des vérités absolues. Black-Scholes a sous-estimé la queue de 1987 et 2008. CAPM suppose marchés efficients (faux). Kelly est trop agressif sans Half-Kelly. Comprendre les hypothèses = comprendre les limites.
Sharpe Ratio
Portefeuille
Sharpe = (Rp − Rf) / σp
Mesure le rendement excédentaire par unité de risque (volatilité). Inventé par William Sharpe (Nobel 1990).
Variables (3)
RpRendement du portefeuille
RfTaux sans risque (US 10Y typiquement)
σpVolatilité (écart-type) du portefeuille
Exemple
Portefeuille avec rendement 12%/an, taux sans risque 4%, volatilité 15%. Sharpe = (12-4)/15 = 0.53.
Interprétation
Sharpe > 1 = excellent · 0.5-1 = bon · < 0.5 = médiocre · < 0 = mauvais. Medallion Fund (Simons) ~3-4. S&P 500 long terme ~0.4.
Value at Risk (VaR)
Risque
VaR(α) = − Z(α) × σ × √t × V
Montant maximal de perte attendue sur un horizon donné avec un seuil de confiance. Standard Bâle pour les banques.
"Avec 95% de confiance, je ne perdrai pas plus de 24675€ demain". Critique : ne mesure rien au-delà du seuil (queue de distribution = "expected shortfall" plutôt).
CAPM (Capital Asset Pricing Model)
Valorisation
E(Ri) = Rf + βi × (Rm − Rf)
Rendement requis pour un actif selon son risque systématique (beta). Sharpe, Treynor, Lintner, Mossin. Nobel 1990.
Critique célèbre : sous-estime les "fat tails" (Mandelbrot, Taleb). Markets crash plus souvent que la log-normale ne le prédit (chaque "100-year event" arrive tous les 5-10 ans).
Théorème Modigliani-Miller
Valorisation
V(L) = V(U) + Tc × D
Sans impôts ni faillite, la structure financière (dette vs equity) est neutre. Avec impôts, la dette ajoute de la valeur (déductibilité). Nobel 1985 (Modigliani) et 1990 (Miller).
Justifie le LBO : ajouter de la dette augmente la valeur (côté tax shield) jusqu'à ce que les coûts de faillite l'emportent. Optimum debt ratio = trade-off théorie.
Shiller P/E (CAPE)
Valorisation
CAPE = Prix / (10y avg EPS ajusté inflation)
P/E lissé sur 10 ans, ajusté de l'inflation. Robert Shiller (Nobel 2013). Lisse les pics de profit cycliques.
Relation arbitrage entre call et put de mêmes K et T. Si violée, arbitrage sans risque possible.
Variables (6)
CPrix du call
PPrix du put
SPrix spot
KStrike
rTaux sans risque
TMaturité
Exemple
S=100, K=100, T=0.5, r=4%. C - P = 100 - 100 × e^(-0.02) ≈ 1.98 €. Call vaut ≈ 2€ de plus que le put.
Interprétation
Sert à reconstruire un call à partir d'un put + future synthétique. Test de violation = market makers prediction de problèmes (gros bid-ask quand stress).
Règle de Taylor
Macro
i = r* + π + 0.5 × (π − π*) + 0.5 × (Y − Y*)
Règle de politique monétaire (John Taylor, 1993). Recommande comment la BC doit ajuster les taux selon inflation et output gap.
Quand la Fed reste sous le Taylor → politique accommodante (peut nourrir les bulles). Au-dessus → restrictive. 2003-04 (i=1% vs Taylor 5%) cité par Taylor lui-même comme cause de la bulle subprime.
Modèle de Gordon (DDM)
Valorisation
P = D1 / (r − g)
Valorisation par les dividendes futurs (Gordon-Shapiro 1956). Suppose croissance perpétuelle constante du dividende.
Variables (4)
PPrix juste de l'action
D1Dividende attendu année prochaine
rTaux de rendement requis (CAPM)
gTaux de croissance pérenne du dividende
Exemple
Action verse 4€/an de div, croit 5%/an, taux requis 10%. P = 4/(0.10-0.05) = 80€.
Interprétation
Très sensible à (r-g) : si g=8% au lieu de 5%, P = 4/(10%-8%) = 200€ ! D'où la volatilité des growth stocks. Inutilisable si g ≥ r (résultat infini).
Kelly Criterion
Portefeuille
f* = (bp − q) / b
Fraction optimale du capital à miser pour maximiser la croissance log-utility. John Kelly (Bell Labs, 1956).
Variables (4)
f*% du capital à miser
pProbabilité de gagner
q1 − p (probabilité de perdre)
bRatio gain/perte (odds)
Exemple
p=60%, b=1 (gain égal à mise). f* = (1×0.6 - 0.4)/1 = 20%. Mise 20% du capital.
Interprétation
Buffett, Soros, Druckenmiller utilisent une variante "Half Kelly" pour réduire la volatilité (Kelly est très agressif et provoque drawdowns 50%+).
Real Yield (Fisher)
Macro
(1 + r) = (1 + nominal) / (1 + π)
Équation de Fisher (1907). Le rendement réel après inflation est différent du nominal moins inflation (multiplicatif vs additif).
Variables (3)
rRendement réel
nominalRendement nominal
πInflation
Exemple
Bond 5%, inflation 3%. Real yield = (1.05/1.03) - 1 = 1.94% (et non pas 2% additif).
Interprétation
Real yield 10Y US = US 10Y - inflation breakeven (TIPS). Quand real yield > 0 → cash et bonds compétitifs vs actions. Quand real yield << 0 → TINA (There Is No Alternative aux actions).
Sortino Ratio
Portefeuille
Sortino = (Rp − Rf) / σdownside
Variante du Sharpe ne pénalisant que la volatilité downside. Frank Sortino. Plus pertinent quand la distribution est asymétrique.
Variables (3)
RpRendement portefeuille
RfTaux sans risque
σdownsideVolatilité des rendements négatifs uniquement
Sortino > Sharpe systématiquement (sauf distribution parfaitement symétrique). Préféré pour les hedge funds avec asymétrie de gains. Sortino > 2 = excellent.